1の3乗根の別表現

\[ x^3 = 1 \] は解のうちの一つが1であることは明らか。よって因数定理より(x-1)を因数に持つから与式を(x-1)で割った商を因数分解してから解の公式を使えば \[ x=1,\ -\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2} がわかる。 \] この複素数解にオイラーの公式を用いると、 \[ \begin{align} -\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2} &= \cos(120^\circ + 360n^\circ) + i \sin(120^\circ+ 360n^\circ) \qquad (nは整数)\\\\ &= \cos(\frac{2 \pi}{3} + 2n\pi) + i \sin(\frac{2 \pi}{3} + 2n\pi) \\\\ &= \mathrm{e}^{i (\frac{2 \pi}{3} + 2n\pi)} \\\\ &= (\mathrm{e}^{i \pi})^{\frac{2}{3}+2n} \\\\ &= (\mathrm{e}^{i \pi})^{\frac{2}{3}}(\mathrm{e}^{i \pi})^{2n} \\\\ &= (\mathrm{e}^{i \pi})^{\frac{2}{3}}(-1)^{2n} \\\\ &= (\mathrm{e}^{i \pi})^{\frac{2}{3}} \\\\ &= (-1)^\frac{2}{3} \end{align} \] もう一方の解も同様にすることで \[ -\frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2} = \mathrm{e}^\frac{- 2i \pi}{3} = -(\mathrm{e}^{i \pi})^\frac{1}{3} = -\sqrt[3]{-1} \] よって \[ x=1,\ (-1)^\frac{2}{3},\ -\sqrt[3]{-1} \ もしくは\ x=1,\ \mathrm{e}^\frac{ 2i \pi}{3},\ \mathrm{e}^\frac{- 2i \pi}{3} \] などと表現できることがわかる。