以下の等式が成り立つ。king property という名前が付いているらしいです。
\[
\int_{a} ^ {b} f(x) dx = \int_{a} ^ {b} f(a + b - x) dx
\]
この式の出典 https://www.youtube.com/watch?v=wlkyKZvZ1X4
証明
F(x)をf(x)の原始関数とすると
\[
\begin{align}
(F(a + b - x))' &= f(a + b - x) (a+b-x)' \\\\
&= -f(a + b - x) \\\\
\end{align}
\]
だから
\[
\begin{align}
\int_{a} ^ {b} f(a + b - x) dx &= \int_{a} ^ {b} -(-f(a + b - x)) dx \\\\
&= \int_{b} ^ {a} -f(a + b - x) dx \\\\
&= \int_{b} ^ {a} (F(a + b - x))' dx \\\\
&= \left[ F(a + b - x) \right]^a_b \\\\
&= F(a + b - a) - F(a + b - b) \\\\
&= F(b) - F(a) \\\\
\end{align}
\]
これは区間aからbのf(x)の定積分と同じである。よって
\[
\int_{a} ^ {b} f(x) dx = \int_{a} ^ {b} f(a + b - x) dx
\]
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